टंकी और पाइप

पाइप तथा टंकी से संम्बन्धित प्रश्नों को हल करने से पुर्व हम इसके बारे में कुछ बेसिक बाते पता होनी चाहिए जैसे टंकी में पानी भरने के लिए नल हमेशा उपर की और लगा होता है तथा खाली करने के लिए टंकी की तली में लगा होता है।


यदि एक पाइप एक टंकी को 5 घंटे में भरता है तो एक घन्टे में भरेगा 1/5 भाग।

इसी प्रकार यदि एक पाइप एक घंटे में टंकी का 1/5 भाग भरता है तो पुरी टंकी भरने में समय लगेगा 5 घन्टे।

यदि एक पाइप एक टंकी को 6 घंटे में खाली करती है तो एक घन्टे में खाली करेगी 1/6 भाग। इसी प्रकार यदि एक पाइप एक घंटे में 1/6 भाग खाली करती है तो पुरी टंकी खाली होने में समय लगेगा 6 घन्टे।

अब यदि एक पाइप एक घन्टे में 1/5 भाग भरती है तथा दुसरी पाइप एक घन्टे में 1/6 भाग पानी खाली करती है।

तो एक घन्टे में भरा गया पानी = 1/5-1/6 = (6-5)/30 = 1/30 भाग

इस प्रकार पुरी टंकी को भरने में 30 घन्टे लगेंगे।

उदाहरण
यदि एक नल एक टंकी को 6 घन्टे में तथा दुसरा नल उसी टंकी को 3 घन्टे में भरता है तो दोनों मिल कर उसे कितनी देर में भर देंगे।

पहला नल एक घन्टे में भरता है = 1/6 भाग

दुसरा नल एक घन्टे में भरता है = 1/3 भाग

दोनों मिल कर एक घन्टे मेें भरते हैं 1/6+1/3 = 9/18

टंकी को पुरा भरने में समय लगेगा 18/9= 2 घन्टे।

उदाहरण
यदि एक नल एक टंकी को 6 घन्टे में भरता है तथा दुसरा नल उसी टंकी को 9 घन्टे में खाली करता है। यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाये तो टंकी को पुर्ण भरने में कितना समय लगेगा।

पहला नल 1 घन्टे में भरता है = 1/6 भाग

दुसरा नल 1 घन्टे में खाली करता है = 1/9 भाग

दोनों नलों को एक साथ खोलने पर 1 घन्टे में टंकी भरेगी(एक नल उसे 1/6 भाग प्रति घन्टे की दर से भरेगा तथा दुसरा उसे 1/9 भाग प्रति घन्टे की दर से खाली करेगा) = 1/6-1/9 = (9-6)/54 = 3/54

अतः टंकी को पुर्ण रूप से भरने में 54/3 घन्टे यानि 18 घन्टे ।

उदाहरण
यदि एक नल एक टंकी को 12 घन्टे में भरता है।यदि एक दुसरे नल को खोल दिया जाये जो कि पानी को बाहर निकालता है। तो टंकी को भरने में 18 घन्टे लग जाते हैं। पुर्ण भरने पर टंकी को खाली होने में कितना समय लगेगा।

एक घन्टे में नल भरता है = 1/12 भाग

जब दुसरा नल खुला हो तो 1 घन्टे में भरता है = 1/18 भाग

अतः एक घन्टे में खाली होता है 1/12-1/18= (3-2)/36 = 1/36 भाग

पुर्ण खाली होने में लगा समय 36 घन्टे।

उदाहरण
एक टंकी को दो नल क्र. 4 घन्टे और 5 घन्टे में भर सकते हैं। एक तीसरा नल जो की टंकी के पैंदे में लगा है। उस टंकी को 2 घन्टे में खाली कर सकता है। अब यदि तीनों नलों को 9 बजे,10 बजे और 11 बजे के अन्तराल पर खोला जाये तो टंकी को खाली करने में कितना समय लगेगा।

सुविधा के लिए माना टंकी 60 लीटर की है(आप इसे x भी मान सकते हैं या कुछ और 60 लीटर सुविधा की दृष्टि से माना गया है ताकि 4 घन्टे में 60 लीटर भरता है तो 1 घन्टे में 15 ली. इसी प्रकार 5 घन्टे में 60 लीटर भरता है तो 1 घन्टे में 12 लीटर)

पहला नल 1 घन्टे में भरता है = 15 ली.

दुसरा नल 1 घन्टे में भरता है = 12 ली.

दानों मिलकर एक घन्टे में भरते हैं 15+12 = 27 ली.

तीसरा नल 1 घन्टे में खाली करता है 30 ली.

पहला नल 9 बजे से 11 बजे तक 2 घन्टे में पानी भरेगा = 30 ली.

दुसरा नल 10 बजे से 11 बजे तक 1 घन्टे में पानी भरेगा =12 ली.

11 बजे तक टंकी में कुल Store पानी 30+12 = 42 ली.

11 बजे तीसरा नल भी खोल दिया जाता है जो की 30 ली. पानी हर घन्टे निकालता है तथा दानों नल 27 ली. पानी टंकी में डालते हैं तो कुल(30-27) 3 ली. पानी टंकी से हर घन्टे निकाला जाता है और Store किया गया पानी 42 ली. है तो पानी को निकालने में लगा समय = 42/3 = 14 घन्टे।

चाल

इकाई समय में तय कि गई दुरी चाल कहलाती है यानि जब कोई वस्तु इकाई समय (1 घन्टे,1 मिनट या 1 सैकण्ड) में जीतनी दुरी तय करती है। वह उसकी चाल कहलाती है जैसे एक कार 5 घण्टे में 50 कि.मी. दुरी तय करती है तो 1 घण्टे में तय दुरी 50/5 =10 कि.मी. यही कार की चाल है 10 कि.मी./घण्टा

चाल को कि.मी./घण्टा, मिटर/सैकण्ड या मिटर/मिनट में दर्शाया जाता है।

1 कि.मी. में 1000 मिटर होते हैं। अतः मिटर को कि.मी. में बदलने के लिए 1000 से भाग देते हैं और यदि कि.मी. को मिटर में बदलना होगा तो 1000 से गुना करते हैं

जैसे 5 किमी. को मिटर में बदलने के लिए 5*1000 = 5000 मिटर

इसी प्रकार 1 घण्टे में 60 मिटन होते हैं ओर 1 मिनट में 60 सैकण्ड अतः 1 घण्टे में 3600 सैकण्ड होते हैं। अब यदि घण्टे को सैकण्ड में बदलना होतो 3600 से गुना करेंगे और यदि सैकण्ड को घण्टे में बदलना होता 3600 से भाग देंगे।

जैसे 2 घण्टे को सैकण्ड में बदलने के लिए 2*3600= 7200 सैकण्ड

अब चाल को कि.मी./घण्टा से मिटर/सैकण्ड में बदलना होतो कि.मी. को 1000 से गुना और घण्टे को 3600 से गुना करना होगा

जैसे 20 किमी./घण्टा को मिटर/सैकण्ड में बदलने के लिए (20*1000)/(1*3600) =20*(5/18) इसी प्रकार मिटर/सैकण्ड को कि.मी./घण्टा में बदलने के लिए मिटर को 1000 से भाग देंगे और सैकण्ड को 3600 से भाग देंगे।

जैसे 30 मिटर/सैकण्ड को कि.मी./घण्टा में बदलने के लिए (30/1000)/(1/3600)=30*(18/5) अब हम कह सकते हैं कि किसी चाल को कि.मी./घण्टा से मिटर/सैकण्ड में बदलने के लिए 5/18 से गुना करेंगे और मिटर/सैकण्ड को कि.मी./घण्टा में बदलने के लिए 18/5 से गुना करेंगे।

जब रेल किसी वस्तु जिसकी चैड़ाई को रेल के सापेक्ष नगण्य माना जा सकता है जैसे व्यक्ति,खंम्भा आदि को पार करती है तो रेलगाड़ी स्वंय की लम्बाई जितनी दुरी को पार करती है। जैसे यदि एक रेलगाड़ी ने एक खंम्भे को पार किया तो उसने अपनी लम्बाई जितनी दुरी को पार किया है।क्योंकि जब रेल का अगला सिरा उस खंम्भे का पार करना शुरू करता है। तब से वह दुरी नापी जाति है तथा तब तक नापी जाती है जब तक कि उसका आखरी सिरा उस खंम्भे को पार न कर ले।


जब रेल किसी चैड़ी वस्तु जैसे सुरंग,प्लेफार्म या दुसरी रेलगाड़ी को पार करती है तो तय कि गई दुरी में रेलगाड़ी की लम्बाई के साथ साथ उस वस्तु की लम्बाई या चैड़ाई इसमें शामिल कर ली जाती हैं।

यदि रेल की लम्बाई 50 मीटर है तथा उसे 30 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को पार करना है तो रेल द्वारा तय कि गई दुरी 50+30 =80 मीटर होगी।


जब रेलगाड़ी किसी चलाय मान वस्तु को पार करती है तो उसकी चाल उस वस्तु के आपेक्ष ज्ञात कि जाती है क्योंकि जब एक चलायमान वस्तु दुसरी चलाय मान वस्तु के पास से गुजरती है तो दोनों की दिशा समान होने पर आपेक्ष चाल दोनों चालों को घटाकर ज्ञात की जाति है और यदि दिशा विपरित होतो आपेक्ष चाल दोनों का योग करके ज्ञात कि जाती है।उदाहरण के लिए माना दो कार एक ही दिशा में 30 कि.मी./घण्टा व 40 कि.मी./घण्टा के चाल जा रही है तो दोनों के बिच कि दुरी जिस चाल से बढ़ रही है या घट रही है उसे आपेक्ष चाल कहेंगे इसी चाल से दो वस्तुएं एक दुसरे को पार करती हैं कार के उदाहरण में आपेक्ष चाल 40-30 =10 कि.मी./घण्टा है अर्थात दोनों के बिच की दुरी इसी चाल से बढेगी या घटेगी।

तथ्य
जब दो रेलगाड़ीयां एक दुसरे को पार करती है तो कुल तय दुरी दोनों कि लम्बाई के बराबर होती है। तथा चाल दिशा पर निर्भर करती है। यदि दोनों एक ही दिशा में है तो चालों को घटाया जायेगा यदि विपरित दिशा में है तो चालों को जोड़ा जायेगा।

यदि रेल चलते हुए व्यक्ति को पार करती है तो तय की गई दुरी रेल की लम्बाई के बराबर होगी तथा चाल दिशा पर निर्भर करेगी।

यदि दोनों एक ही दिशा में है तो चालों को घटाया जायेगा यदि विपरित दिशा में है तो चालों को जोड़ा जायेगा।

उदाहरण
50 मीटर/सैकण्ड की चाल से जा रही रेलगाड़ी एक व्यक्ति को कितने समय में पार कर लेगी यदि गाड़ी की लम्बाई 100 मीटर है।

समय दुरी/चाल

दुरी 100 मीटर

चाल 50 मीटर/सैकण्ड

100/50 2 सैकण्ड में

उदाहरण
200 मीटर लम्बी रेलगाड़ी 54 कि.मी./घण्टा की चाल से 100 मीटर लम्बे प्लेटफार्म को कितने समय में पार कर लेगी ।

सबसे पहले चाल को मि./सै. में बदलने पर 54*5/18 =15 मी/सै.

तय की गई कुल दुरी 200+100 =300

समय =300/14 =20 सैकण्ड

उदाहरण
एक रेलगाड़ी 180 मीटर लम्बे पुल को 12 सैकण्ड में पार कर सकती है तथा एक बिजली के खंम्भे को 3 सैकण्ड में तो रेलगाड़ी की लम्बाई तथा चाल क्या होगी ।

रेलगाड़ी अपनी लम्बाई तथा पुल की लम्बाई को 12 सैकण्ड में पार करती है तथा अपनी लम्बाई(खंम्भे को) को 3 सैकण्ड में तो पुल केवल पुल की लम्बाई को पार करने में लगा समय 12-3 =9 सैकण्ड

अतः हम यह कह सकते हैं कि रे

काम और समय

यदि कोई कार्य n दिनों में पूर्ण होता है तो एक दिन का कार्य = 1/n

एवं यदि एक दिन में 1/n कार्य किया जाता है तो कार्य के पुर्ण होने में लगने वाला समय = n दिन ।

उदाहरण
राम किसी काम को 5 दिन में करता है मोहन उसी काम को 10 दिन में करता है दोनो मिलकर उसे कितने समय में कर लेंगे -

राम 5 दिन में करता है = 1 काम

1 दिन में करेगा = 1/5 भाग काम

मोहन 10 दिन में करता है = 1 काम

1 दिन में करेगा = 1/10 भाग काम

दोनो मिलकर 1 दिन में करेंगे = 1/10 + 1/5 = 1+2/10 = 3/10 भाग काम

दोनो मिलकर काम पुरा करेंगे = 10/3 दिन या 3.3 दिन में ।

सुत्र

दोनो के दिनों का गुणा/दोनों के दिनों का याग

= (5*10)/(5+10) = 3.3 दिन

उदाहरण
राम और श्याम एक काम को 5 दिन में पुरा करते हैं राम उसे अकेला 10 दिन में करता हैं तो श्याम उसी काम को कितने दिन मेें करेगा -

राम और श्याम 5 दिन में करते हैं = 1 काम

एक दिन में करेंगे = 1/5 भाग काम

राम अकेला 10 दिन में करता है = 1 काम

एक दिन में करेगा = 1/10 भाग काम

श्याम 1 दिन में करेगा = 1/5 - 1/10 = 2-1/10 = 1/10 भाग काम

अतः श्याम काम पुरा करेगा 10 दिन में।

उदाहरण
यदि 10 व्यक्ति किसी काम को 15 दिन में पूर्ण करते हैं तो एक व्यक्ति उसी काम को कितने दिन में करेगा -

10 व्यक्ति 15 दिन में करते है = 1 काम

1 व्यक्ति 15 दिन में करता है = 1/10

1 व्यक्ति 1 दिन में करता है = 1/(10*15)

1 व्यक्ति कार्य पुर्ण करेगा = 150

सुत्र

एक व्यक्ति कार्य पुर्ण करेगा =दिये गये व्यक्तियों कि संख्या *दिये गये दिनों की संख्या

उदाहरण
एक कार्य को 10 आदमी 20 दिन में करते हैं तो वही कार्य 15 आदमी कितने दिनों में करेंगे -

1 आदमी उसी काम को करेगा = 10*20 = 200 दिन में

15 आदमी उसी कार्य को करेंगे = 200/15 = 13.3 दिन में

उदाहरण
यदि 20 व्यक्ति 15 घन्टे रोजाना काम करके किसी काम को 40 दिनों में पूरा करते हैं तो 10 व्यक्ति उसी कार्य को 50 दिन में पूरा करने के लिए रोजाना कितने घन्टे काम करेंगे -

20 व्यक्ति 15 घण्टे काम करके 40 दिनों में करते हैं = 1 काम

1 व्यक्ति 1 घण्टे कार्य करके 1 दिन में काम करेगा = 1/20*15*40 भाग

10 व्यक्ति 1 घण्टा काम करके 50 दिन में उसी काम को करेंगे = 10*50/(20*15*40)

50 दिन में काम पूरा करने के लिए 10 व्यक्ति काम करेंगे =(20*15*40)/(10*50)= 24 घन्टे

उदाहरण
यदि 20 आदमी 1 काम को 10 दिन में पूरा करते हैं तो 10 आदमी 12 दिन में उसी काम का कितना भाग करेंगे -

20 आदमी 10 दिन में करते हैं = 1 काम

1 आदमी 1 दिन में करता हैं = 1/(20*10)

10 आदमी 12 दिन में करेंगे (10*12)/(20*10)=3/5 भाग

उदाहरण
राम किसी काम को 5 दिन में में करता है और मोहन उसी काम को करने में 7 दिन लगाता है दोनों उसी काम को 2 दिन एक साथ करते हैं और उसके बाद मोहन काम छोड़ कर चला जाता हैं तो शेष काम को राम कितने दिनों में पूरा कर लेगा -

राम 5 दिन में करता है = 1 काम

राम 1 दिन में करेगा = 1/5 भाग काम

इसी प्रकार मोहन 1 दिन में करेगा = 1/7 भाग काम

दोंनों मिलकर 1 दिन में करेंगे =1/5 + 1/7 = 12/35 भाग काम

दोंनों मिलकर 2 दिन में करेंगे = 24/35 भाग काम

शेष काम = 1-24/25 = 1/25 भाग काम

राम 1 दिन में करता है = 1/5 भाग काम तो माना x दिन में करेगा 1/25 भाग काम

अतः 1*x/5 =1/25

x= 5/25 या 1/5 दिन में

उदाहरण
3 पुरूष या 5 महिलाएं किसी काम को 40 दिन में करते हैं तो 9 पुरूष और 5 महिलाएं उस कार्य को कितने समय में करेंगें -

1 पुरूष काम पुरा करेगा = 3.40

1 पुरूष 1 दिन में काम करेगा = 1/120

इसी प्रकार 1 महिला 1 दिन में काम करेगी = 1/200

9 पुरूष 1 दिन में करेंगें = 9/120 भाग काम

5 महिलाएं 1 दिन में करेंगी = 5/200 भाग काम

दोनों मिलकर 1 दिन में करेंगे = 9/120 + 5/200 = 3/40 + 1/40 = 4/40 = 1/10 भाग काम

अतः कार्य पुरा होगा 10 दिन में

उदाहरण
रमेश किसी काम को 30 दिन में एवं सुरेश उसी काम को 20 दिन में करता हैं दोनों एक साथ काम शुरू करते हैं लेकिन रमेश काम समाप्त होने से 5 दिन पहले ही काम छोड़ देता है तो काम को पूर्ण करने में कितने दिन लेगेंगे -

रमेश 1 दिन में करता है = 1/30भाग काम

सुरेश 1 दिन में करता है = 1/20 भाग काम

माना दोनों x दिन साथ काम करते हैं

रमेश x दिन में काम करता है = x/30

सुरेश 5 दिन अतिरिक्त काम करता है अतः

सुरेश (x+5) दिन में काम करता है = (x+5)/20

तो कुल कार्य x/30 + (x+5)/20 = 1 काम

2x+(x+5)3=60

5x=45

x=9

अतः कार्य पुर्ण होने में समय लगेगा 9+5=14 दिन

चाल समय दूरी

चाल

किसी गतिशिल वस्तु द्वारा इकाई समय में तय की गई दुरी को उस वस्तु की चाल कहते हैं।

चाल = दुरी/समय

दुरी = चाल* समय

समय = दुरी/चाल

जब दो वस्तु एक ही दिशा में या विपरित दिशा में एक ही सरल रेखा पर चल रही हो तो उसकी चालों के मध्य संबंध आपेक्षिक चाल कहलाता है।

चाल को मीटर/सैकण्ड से किमी/घंण्टा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करते है ओर किमी/घण्टा से मि./सैकण्ड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करते हैं।

किमी./घण्टा को मिटर /मिनट में बदलने के लिए 50/3 से गुणा करते हैं।

उदाहरण
एक बस 200 किमी की दुरी 4 घण्टे में तय करती है तो बस की गति या चाल होगी -

चाल = दुरी/समय = 200/4 = 50 किमी./घण्टा

अगर इसे मिटर/सेकण्ड में बदलना हो तो

50*5/18 = 250/18 =13.89 मिटर/सेकण्ड

उदाहरण
एक कार 40 किमी./घण्टा की चाल से 4 घण्टे में कितनी दुरी तय करेगी -

दुरी = चाल * समय

=40*4=160 किमी.

उदाहरण
एक ड्राइवर हनुमानगढ़ से जयपुर के लिए रवाना होता है उसकी चाल 40 किमी./घण्टा है। तथा हनुमानगढ़ से जयपुर 400 किमी. है उसे कितना समय लगेगा जयपुर पहुंचने में यदि वापिस आते वक्त उसकी चाल 80 किमी. प्रति घण्टा है तो आने में कितना समय लगेगा और उसकी औसत चाल क्या होगी -

समय = दुरी/चाल

जयपुर पहुंचने में लगा समय = 400/40 = 10 घण्टे

आने में लगा समय = 400/80 = 5 घण्टे

औसत चाल = (2* प्रथम चाल *द्वितिय चाल)/(प्रथम चाल + द्वितिय चाल) नोट - यदि तय कि गई दुरी समान हो तो

(2*40*80)/(40+80) = 6400/120 =53.3 किमी./घण्टा

उदाहरण
एक बस 20 किमी. की दुरी 60 किमी./घण्टा की चाल से तय करती है। फिर रास्ते में अवरोध के चलते वह अगले 30 किमी. 20 किमी./घण्टा की चाल से तय करती है। आगे गणत्वय तक पहुंचने से पहले वह 40 किमी. की दुरी 80 किमी./घण्टा की चाल से तय करती है उसकी औसत चाल होगी -

औसत चाल = (पहली दुरी+दुसरी दुरी+तीसरी दुरी)/[(पहली दुरी/चाल) +(दुसरी दुरी/चाल) + (तीसरी दुरी/चाल)]

(20+30+40)/[(20/60)+(30/20)+(40/80)] = 90/(47/24) =45.95 किमी./घण्टा

सापेक्ष चाल
उदाहरण
एक चोर के 500 मी. भाग जाने पर एक सिपाही उसका पीछा करता है। चोर कि चाल 150 मी./मीनट हैं। तथा सिपाही की चाल 200 मी./मिनट है तो बताइये सिपाही चोर को कितने समय व कितनी दुरी पर पकड़ लेगा -

दोनों एक ही दिशा में है अतः सापेक्ष चाल = 200-150 = 50 मी./मिनट

दोनों के बीच दुरी = 500 मी.

समय = दुरी/चाल = 500/50 =10मिनट

दुरी = चाल *समय = 200*10 = 2000 मी.

नोट - जब कोई व्यक्ति या गतिशिल वस्तु विपरित दिशा में चलते हैं तो उनकी सापेक्ष चाल चालों का योग होता है।

उदाहरण
दो कारें एक ही स्थान से विपरित दिशाओं में 20 किमी./घण्टा व 30 किमी./घण्टा की चाल से दोड़ीं 5 घण्टे बाद उनके बीच की दुरी होगी -

सापेक्ष चाल = 20+30 = 50 किमी./घण्टा

दुरी = चाल* समय

दुरी 50*5=250 किमी.

रेलगाड़ी -
उदाहरण
एक 150 मी. लम्बी रेलगाड़ी 72 किमी./घण्टा की चाल से एक खम्भे को कितने समय में पार कर लेगी -

जब एक रेलगाड़ी खम्भे को पार करती है तो उसे अपनी लम्बाई के बराबर दुरी तय करनी होती हैं अतः दुरी = 150 मी.

चाल = 72 किमी./घण्टा या 72*5/18 = 20 मी./सेकण्ड

समय = दुरी/चाल = 150/20 = 7.5 सेकण्ड में

उदाहरण
एक 200 मी. लम्बी रेलगाड़ी 100 मी. लम्बे प्लेटफार्म को 54 कि.मी./घण्टे की चाल से कितने समय में पार कर लेगी -

गाड़ी को कुल दुरी तय करनी है गाड़ी की लम्बाई+प्लेटफार्म की लम्बाई = 200+100 = 300 मी.

चाल = 54 किमी./घण्टा या 54*5/18 = 15 मी./सेकण्ड

समय = दुरी/चाल = 300/15 = 20 सेकण्ड

उदाहरण
एक रेलगाड़ी 108 किमी./घण्टा की चाल से 200 मी. लम्बे प्लेटफार्म को 30 सैकण्ड में पार कर लेती है तो गाड़ी की लम्बाई होगी -

चाल = 108 किमी./घण्टा या 108 5/18 = 30 मी./सैकण्ड

गाड़ी की लम्बाई = तय की गई दुरी-प्लेटफार्म की लंम्बाई

तय की गई दुरी = 30*30 = 900 मी.

अतः गाड़ी की लम्बाई = 900-200 मी. = 700 मी.

उदाहरण
एक बस अपने निर्धारित समय से 2 घन्टे देरी से रवाना हुई तथा 840 कि.मी. की दुरी पर स्थित गंतव्य स्थान पर ठीक समय पर पहुंचने हेतु अपनी वास्तविक चाल में 10 कि.मी./घण्टा की वृद्धि कर दी उसकी वास्तविक चाल कितनी है -

माना बस की वास्तविक चाल = x किमी./घण्टा

समय = दुरी/चाल

840/x - 840/(x+10) = 2

= 840*[x+10-x]= 2x(x+10)

x2+10x-4200=0

(x+70)(x-60) =0

x=60

60 किमी./घण्टा

काम समय

1. किसी काम को करने वाले आदमी तथा उस काम को पूरा करने में लगे समय में व्युत्क्रमानुपाती सम्बन्ध होता है।

2. यदि कोई व्यक्ति n दिनों में कोई काम समाप्त करता है, तो 1 दिन में 1/n काम समाप्त होगा।
जैसे : A 10 दिनों में एक काम करता है , तो 1 दिन उसके द्वारा 1/10 काम सम्पन्न होगा।

3. यदि 1 दिन में 1/n काम सम्पन्न होता हो, तो पूरे काम को समाप्त करने में लगा समय n होगा।
जैसे :- यदि 1 दिन में 1/12 काम किया जाता हो तो पूरे काम को करने में लगा कुल समय = 12

4. (a) यदि A और B की कार्य क्षमता का अनुपात  m:n हो और A एक काम p दिनों में समाप्त करें, तो B द्वारा अकेले उस काम को करने में लिया गया समय
                                                    =  m/n*p

    (b) लेकिन यदि B उस काम को p दिनों में पूरा करें, तो A द्वारा उस  काम को पूरा करने में लिया गया समय
                                                 
                                                  = n/m*p

5. A और  B की कार्य क्षमताओं में  m:n  का अनुपात है और दोनों मिलकर काम को p दिनों में समाप्त करता है। A द्वारा अकेले उस काम को पूरा करने में लिया गया समय
                                     =   p(m+n)/m

तथा B द्वारा अकेले उस काम को पूरा करने में लिया गया समय

                                   =   p(m+n)/n

6. A तथा B की कार्य क्षमता का अनुपात  m:n  है। यदि A किसी काम को करने में B से  P दिन कम / अधिक समय ले, तो A द्वारा अकेले काम को करने में लगा समय

                                 =    n / m तथा n में अन्तर * P

    तथा B द्वारा अकेले उस काम को पूरा करने में लगा समय

                                  = m / m तथा n में अंतर * P

7. यदि A किसी काम को X दिनों में तथा B उसे  Y दिनों में पूरा करें, वे दोनों साथ कार्य करे किन्तु कार्य समाप्त होने से T दिनों के पहले A कार्य छोड़कर चला जाए  तो शेष कार्य करने में B के द्वारा लगा समय

                                   = Y ( X+ T ) / X + Y

 Note : - यहाँ  X = जो काम छोड़कर जाता है।

मौर्येत्तर काल

● अंतिम मौर्य सम्राट की हत्या किसने की— पुष्यमित्र ने
● शुंग वंश की स्थापना किसने की— पुष्यमित्र ने
● कण्व/काण्व वंश का संस्थापक कौन था— वासुदेव
● सातवाहन/आंध्र सातवाहन वंश की स्थापना किसने की— सिमुक ने
● किसके अधीन सातवाहनों ने अधिकारियों के रूप में कार्य किया था— मौर्यों के अधीन
● कौन-सा कुषाण शासक था जिसने बौध धर्म अपना लिया था— कनिष्क
● कुषाण काल के दौरान मूर्तिकाल की गंधार शैली किन शैलियों का मिश्रण थी— इंडो-ग्रीक (भारतीय-यूनानी) शैली
● कनिष्क की राजधानी कहाँ थी— पुरुषपुर व मथुरा
● पुरुषपुर का दूसरा नाम क्या है— पेशावर
● चरक किसके राजवैद्य थे— कनिष्क
● तक्षशिला किस शैली की कला के लिए प्रसिद्ध है— गंधार कला के लिए
● भारत में सर्वप्रथम स्वर्ण मुद्राएं किसने चलवाईं— इंडो-ग्रीक (बैक्ट्रियन ग्रीक)
● किस संग्रहायल में कुषाणकालीन मूर्तियाँ सबसे अधिक हैं— मथुरा संग्रहालय
● किस वंश के शासकों ने सोने के सबसे अधिक सिक्के जारी किए— कुषाण वंश के शासकों ने
● सातवाहनों के समय किस धातु की मुद्रा सर्वाधिक थी— सीसा
● नागार्जुन, अश्वघोष व वसुमित्र किसके समकालीन थे— कनिष्क के
● 78 ई. का शक संवत् किसने चलाया— कनिष्क ने
● तक्षशिला वर्तमान में कहाँ स्थित है— पाकिस्तान में

● ‘गार्गी संहिता’ क्या है— ज्योतिष ग्रंथ
● ‘गार्गी संहिता’ की रचना किसने की— कात्यायन ने
● कुषाण वंश की स्थापना किसने की— कुजुला कडफिसेस
● कनिष्क को शासन कब प्राप्त हुआ— 78 ई.
● कनिष्क के कुल का अंतिम शासक कौन था— वासुदेव
● ‘कामसूत्र’ की रचना किसने की— वात्सयायन ने
● पक्की ईंटों का शुभारंभ किसके काल में हुआ— कनिष्क के काल में
● किस प्रसिद्ध ग्रंथ को बौद्ध धर्म का विश्वकोष कहते हैं— महाविभाषाशास्त्र
● कुषाण के काल में सबसे अधिक विकास किस क्षेत्र में हुआ— वास्तुकला
● सातवाहनों ने अपना शासन कहाँ शुरू किया— महाराष्ट्र में
● सातवाहनों की राजधानी कहाँ थी— पैठन
● किस सातवाहन सम्राट ने ‘गाथासप्तशई’ नामक महत्वपूर्ण कृति की रचना की— हाल ने
● मौर्यों के बाद दक्षिण भारत में सबसे प्रभावशाली राज्य किसका था— सातवाहन
● बुद्ध की खड़ी प्रतिमा किसके काल में बनवाई गई— कुषाण के काल में
● शुंग वंश के बाद किस वंश ने भारत पर राज्य किया— कण्व वंश ने
● किस चीनी जनरल ने कनिष्क को हराया था— पेगचाऔ ने
● कनिष्क बौद्ध धर्म की किस शाखा का अनुयायी था— महायान
● प्राचीन भारत के महान व्याकरण विद्वान पतंजलि किसके समकालीन थे— पुष्यमित्र के
● भारत में किसके द्वारा पहली बार सैनिक शासन व्यवहार में लाया गया— इंडो-ग्रीक द्वारा
● ईसा पूर्व दूसरी सदी के आरंभ में उत्तरी अफगानिस्तान में किसका शासन था— बैक्ट्रिया
● प्राचीन भारत में किसने नियमित रूप से सोने के सिक्के चलाए— कुषाण ने
● सातवाहनों का समाज कैसा था— मातृ सत्तात्मक
● कनिष्क किस जाति से संबंधित था— चीन की यूंची जनजाति से
● भारत का आइंस्टीन किसे कहा जाता है— नागार्जुन को
● पुष्यमित्र किस धर्म का समर्थक था— ब्राह्मण धर्म का
● बेसनगर में स्थित गरुण स्तंभ का निर्माण किसने कराया— हेलियोडोर ने
● खारवेल किस वंश का शासन था— चेदि वंश का
● किस पुराण में 19 सातवाहन शासकों के शासन की चर्चा है— वायु पुराण में

भारतीय राष्ट्रीय आन्दोलन

● त्रिपुरी अधिवेशन संकट की समाप्ति के बाद कांग्रेस का अध्यक्ष किसे चुना गया— डॉ. राजेंद्र प्रसाद
● महात्मा गाँधी की मृत्यु पर किसने कहा था कि ‘हमारे जीवन से प्रकाश चला गया’— जवाहर लाल नेहरू ने
● किसने सुझाव दिया था कि स्वतंत्रता प्राप्ति के बाद भारतीय राष्ट्रीय कांग्रेस को समाप्त कर दिया जाए— महात्मा गाँधी ने
● ‘फीनीक्स फार्म’ की स्थापना किसने की— महात्मा गाँधी ने
● मुस्लिम लीग ने ‘मुक्ति दिवस’ कब मनाया था— 22 दिसंबर, 1939 ई.
● भारतीय मुसलमानों के लिए पृथक राज्य हेतु ‘पाकिस्तान’ शब्द का प्रयोग सर्वप्रथम किसने किया था— चौधरी रहमत अली
● 1946 ई. में बनी अंतरिम सरकार में राजेंद्र प्रसाद के पास कौन-सा विभाग था— खाद्य एवं कृषि
● 1939 ई. में कांग्रेस छोड़ने के बाद सुभाषचंद्र बोस ने किस दल की स्थापना की— फॉरवर्ड ब्लॉक
● 1946 ई. में गठित अंतरिम सरकार की कैबिनेट की अध्यक्षता किसने की थी— जवाहरलाल नेहरू ने
● किसने प्रसि चटगाँव शास्त्रगार पर हमले को आयोजित किया था— सूर्यसेन ने
● जयप्रकाश नारायण किस पार्टी से जुड़े थे— सोशलिस्ट पार्टी
● 4 अप्रैल, 1919 ई. को दिल्ली की जामा मस्जिद के प्रवचन में हिन्दू-मुस्लिम एकता के भाषण किसने दिए— स्वामी श्रानंद ने
● विश्व भारती विश्वविद्यालय की स्थापना किसने की— रवींद्र नाथ टैगोर ने
● लॉर्ड माउंटबेटन योजना का शुभारंभ कब हुआ— 1947 ई.
● सुखदेव, भगत सिंह व राजगुरू को फाँसी कब दी गई— 23 मार्च, 1931 ई.
● नौसेनिक विद्रोह कब हुआ— 1946 ई.
● महात्मा गाँधी ने साबरमती आश्रम की स्थापना कब की— 1916 ई.
● ‘सीधी कार्रवाई दिवस’ कब मनाया गया— 16 अगस्त, 1946 ई.
● ‘हरिजन सवेक संघ’ के अध्यक्ष कौन थे— घनश्याम दास बिड़ला
● पूना समझौता किस वर्ग से संबंधित था— दलित वर्ग से
● हिंदुस्तान सोशलिस्ट रिपब्लिक एसोसिएशन पार्टी की स्थापना कब हुई— 1928 में
● ‘भारत छोड़ो’ आंदोलन कब प्रारंभ हुआ— 9 अगस्त, 1942
● हंटर आयोग की नियुक्ति किस कांड के बाद की गई— जलियांवाला बाग कांड के बाद
● ‘इंकलाब जिंदाबाद’ का नारा किसने दिया— भगति सिंह ने
● भारत एवं पाकिस्तान के बीच सीमांकन किसने किया— सर सीरिल रेडक्लिफ ने
● अर्द्धनग्न फकीर’ महात्मा गाँधी को किसने कहा था— चर्चिल ने
● खिलाफत आंदोलन किसने चलाया— शौकत अली व मुहम्मद अली ने
● पाकिस्तान की माँग 1940 ई. को किस अधिवेशन में की गई— लाहौर अधिवेशन
● गवर्नमेंट ऑफ इंडिया एक्ट कब पारित हुआ— 1935 में
● ‘कैबिनेट मिशन योजना’ कब बनी— 1946
● दांडी मार्च कब आरंभ हुआ— 12 मार्च, 1930
● ‘चौरी-चौरा कांड’ किस स्थान पर हुआ— गोरखपुर